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Fotometría sintética en régimen de Rayleigh-Jeans

El objetivo es poder hacer la siguiente integral:

donde S(λ) es el espectro y τ(λ) es la transmisión del filtro.

El problema está en que, dado que ambas funciones son discretas (un conjunto de puntos (xi,yi)) necesitamos interpolar el espectro en los valores de X correspondientes a la transmisión del filtro, para el rango del filtro. Y eso, a veces, tiene dificultades.

El problema fundamental está en que, en el rango del filtro, el espectro tenga muy pocos puntos (o ninguno).

Digamos que el filtro es una función definida entre λmin y λmax.

Llamamos Nptspec al número de puntos que tiene el espectro entre λmin y λmax, es decir, en el rango del filtro.

Ponemos la condición de que Nptspec > Nptmin, es decir, que haya un número de puntos suficientes (por ejemplo, al menos 10).

Si esto se cumple, no hay problema, interpolamos el espectro, multiplicamos espectro y filtro e integramos.

Si esto no se cumple es cuando tenemos un problema. En algunos casos, el régimen de Rayleigh-Jeans puede ayudarnos a resolverlo.

Régimen de Rayleigh-Jeans

La fórmula del flujo emitido por un cuerpo negro viene dada por:

donde:

 h   =   6.57 e-27 
 c   =   3 e18 
 K   =   1.38 e-16 

En el caso de que hc/λKT >> 1 podemos reducir la fórmula a:

o, lo que es lo mismo:

O sea, que cuando hc/λKT >> 1 el logaritmo del flujo y el logaritmo de la longitud de onda se ajustan linealmente.

Expresando λ en Armstrongs y T en Kelvins, el requisito es:

λT >> 1.428 108

A eso es a lo que llamamos régimen de Rayleigh-Jeans. Cuando se cumple la condición, no necesitamos tener muchos puntos en el espectro, porque con tener unos pocos sabemos perfectamente cómo calcular tantos otros puntos como deseemos.

Cálculo de la fotometría en el régimen de Rayleigh-Jeans.

Llamamos λRL a la longitud de onda a partir de la cual podemos aplicar el régimen de Rayleigh-Jeans.

λRL = 1.428 108/T

Tenemos 3 condiciones:

Si se cumple la primera condición, no hay problemas: interpolamos el espectro sin más, multiplicamos e integramos.

Si no se cumple es cuando nos preocupamos de las otras dos: que el filtro esté en la zona donde, para la temperatura a la que corresponde el espectro, se puede aplicar RL y que el espectro tenga puntos más allá de λRL (en realidad tendremos que exigir que haya al menos dos puntos del espectro con λ > λRL).

Así, la casuística que nos queda es:

  • Se cumplen (b) y (c) => Podemos aplicar el método.
  • Se cumple (b) pero no (c) => En ese caso lo que ocurre es que el espectro no ha entrado en el régimen de RL por lo que no sabemos cómo extrapolarlo más allá. No se puede calcular la fotometría sintética.
  • Se cumple (c) pero no (b) => En ese caso, el filtro no está en la zona de RL por lo que en esa zona no podemos usar esa aproximación. Si el espectro no tiene suficientes puntos en el rango del espectro, no podemos interpolar bien y es mejor no calcular la fotometría sintética.
  • No se cumplen ni (b) ni (c) => El problema es el mismo que en el caso anterior. Si no hay puntos suficientes den el espectro y no se puede aplicar RL, no podemos interpolar y no debemos calcular la fotometría sintética.

En resumen, el método será:

Calculamos cuántos puntos del espectro están en el rango del filtro. En función de eso:

  • Nptspec > Nptmin => Aplicamos el método convencional.

  • Nptspec < Nptmin => => Vemos si podemos aplicar RL.
    • Calculamos λRL para la temperatura del modelo:
      λRL = 1.428 108/T.
    • Si λF,minRL y λS,maxRL: aplicamos RL.

  • Si no se cumple alguna de las dos condiciones: no calculamos la fotometría sintética.

 
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